scienza deliri :: Il grande pennello di noi matematici

Supponiamo che alla prossima tutufest ci si chieda qual e' il numero minimo di asphaltiti da invitare, per fare in modo che almeno tre di essi si conoscano tra loro, oppure che almeno tre di loro non si conoscano.
Se il rapporto di conoscenza e' simmetrico (A conosce B se e solo se B conosce A), qualche disegnino e' sufficiente a capire che ne bastano 6; chi non si fida dei disegni immagini di essere in una stanza con altre 5 persone: e' evidente che ci saranno almeno tre persone che conosce o almeno tre persone che non conosce.

Paul Erdos, di cui ho gia' parlato, si e' messo a studiare problemi di questo tipo, ispirato da un breve papello scritto da Frank Plumpton Ramsey nel 1930 (per quelli a cui interessa si chiama On a problem of formal logic; Ramsey usa in effetti un'idea di teoria dei grafi per un problema di logica "about the decidability of (what is now called) Bernays–Schönfinkel–Ramsey class of first-order logic"), e ha dato il via a quella che e' oggi nota come Teoria di Ramsey.

Ora cerchiamo quattro persone, che si conoscono tutte o in cui nessuno conosce nessun altro: fidatevi se vi dico che le troverete certamente solo quando avrete almeno 18 invitati. Se ne vogliamo di piu', comincia il divertimento: per trovare cinque invitati disgiunti o totalmente congiunti bisogna organizzare una tutufest con non meno di 43 e non piu' di 49 invitati; il valore preciso al momento non e' noto, e per limitare in questo modo il valore esatto sono serviti 20 anni di ricerca (le malelingue dicono che in assenza di Erdos ne sarebbero serviti il doppio). Il numero preciso di invitati necessario a garantire 6 persone digiunte o totalmente congiunte e' anch'esso ignoto: si sa solo che si aggira tra 102 e 165.

La teoria di Ramsey studia, in poche parole, il numero minimo di enti che devono coabitare un sistema in modo tale che, quale che sia il loro "comportamento", un certo pattern si presenti (almeno n palle rosse in una cesta, almeno n mosche bianche in una popolazione, almeno un errore di HAL9000, almeno un azzurro su asphalto). In questa piacevole intercapedine della combinatorica si inserisce il lavoro di R. Graham, "holding the record for the largest number ever used in a serious mathematical proof". Per parlarne pero' serve una generosa cappella introduttiva.

E' credenza antica e comune che per maneggiare un ente astratto sia necessario dargli un nome, e l'aritmetica in quanto scienza esatta non fa eccezione: risale ad Archimede e al suo Arenario l'invenzione di un sistema atto a dare un nome al numero di granelli di sabbia di cui si compone l'Universo. Il pennello di archimede e' gia' grandino, dato che nelle notazioni moderne questa quantita' si esprime come 108 · 1016 (un numero che ha dieci milioni di miliardi di cifre); il numero di elettroni nell'Universo e' stato stimato da Arthur Eddington all'inizio del 1900, in circa 1080 (un numero di ottanta cifre).

La gestione gia' problematica di grossi interi lo e' diventata immensamente di piu' nell'era dei computer; limitandosi all'aritmetica degli interi (in effetti una delle poche che importa agli informatici, ma aspetto smentite focose da parte degli stessi), l'idea geniale che e' venuta a Don Knuth (un tizio famoso soprattutto agli appassionati di tipografia, scientifica e non) e' per sommi capi la seguente.

-Disponiamo di una operazione "addizione ripetuta", la moltiplicazione (3*2 = 2+2+2)
-Disponiamo di una operazione "moltiplicazione ripetuta", l'elevamento a potenza (2^3 = 2*2*2)
-Vorremmo disporre di una operazione "potenza ripetuta", da chiamare, diciamo, "↑↑" (e per estensione "↑" indichera' l'esponenziazione consueta), in modo che 2↑↑3 = 2↑(2↑2), 2↑↑4 = 2↑(2↑↑3) = 2↑(2↑(2↑2)) e cosi' via;

Si ha la possibilita' di generare numeri mastodontici gia' con numeri piccoli: 3↑↑3 = 7625597484987, e 3↑↑4 manda in overflow il kernel di Mathematica su un computer di media potenza. Knuth pero', che aveva numeri davvero grandi in testa, non si e' fermato qui: nulla infatti impedisce al Vero Matematico di chiedersi "perche' non procedere ancora?". L'operazione "m↑↑↑n" prevede ora di ripetere n volte l'operazione "↑↑" su m. In questo modo dunque 3↑↑↑2 = 3↑↑3 = 7625597484987 e 3↑↑↑3 significa ripetere 7625597484987 l'esponenziazione di 3 con se' stesso, ossia significa costruire una torre di 7625597484987 3 innestati.

Bevete un bicchiere d'acqua perche' siamo solo alla base del grattacielo: il numero che Graham e' stato costretto a chiamare in causa e' davvero(davvero↑↑↑davvero) piu' grande, essendo il sessantaquattresimo termine nella sequenza

g_0 = 4;

g_1 = 3↑↑↑↑4 (bisogna innestare 3↑↑↑3 "3");

g_n = 3↑(gn-1)3, intendendo con cio' che si devono mettere tra i due "3" un numero di "↑" pari a gn-1.

Non e' umanamente possibile stimare la grandezza di g_1, tanto esso esula dalle entita' che siamo soliti manipolare quotidianamente: il volume dell'universo osservabile espresso in unita' di Planck e' un numero di sole (circa) 185 cifre; risibile in confronto alla magnitudine di questo bizzarro mostro, e alla velocita' di crescita della successione dove e' inserito.

Divertente? Ora seguite questo. Lo trovo interessante perche' permette di settare quell'errore di parallasse cui accennavo prima, riguardo la distinzione grande-infinito. Un simpatico omino di nome Reuben Goodstein si e' inventato questo gioco (da alcuni chiamato "Achille raggiunto dalla Tartaruga") per scacciare quella operazione "intuitiva" di identificazione grande-infinito.

Diamo per noto che ogni numero intero puo' essere scritto in modo unico una volta fissata una qualche base b maggiore o uguale a 2; per esempio 137 = 128 + 8 + 1 in base 2 = 100 + 20 + 8 in base 10 = ...
Quello che si fa in generale fissata una base b e' scrivere il numero nella forma a0b0 + a1b1 + ... + akbk, dove ognuno degli aj e' strettamente minore di b.

scegliete a caso un numero naturale, diciamo 137. Scrivetelo in base 2, nella forma generale su descritta: in questo caso otterremo

e0 = 137 = 27 + 23 + 1

Ogni volta che compare un esponente maggiore o uguale a due, scriviamo anche quest'ultimo in base 2 nello stesso modo (7 = 4 + 2 + 1 = 2^2 + 2 + 1, 3 = 2 + 1 etc). Otterremo per e_0 la scrittura

e0 = 222+2+1 + 22+1 + 1

Ora sostituiamo ad ogni occorrenza di "2" un "3", e togliamo 1

e1 = 333+3+3 + 33+1 + 1 - 1 = 617673396284027

Scrivete ora 617673396284027 in base 3: scrivete ogni esponente in base 3, e ogni esponente di ogni esponente in base 3. L'operazione che state compiendo la chiamo "scrittura in base ereditaria 3". Sostituite ad ogni occorrenza di un "3" un "4", togliete 1 al risultato: nel nostro caso tale numero e'
13729595320261219429963801598162786434538870600286610|
81878892691837108636679531210424511928132290910995459|
2622782961716074243975999433287625148056582230115328
(vado a capo senno' si spana il layout); scrivete ora questo numero in base ereditaria 4, sostituite ad ogni 4 un 5, togliete 1... Vedete come la successione sembra crescere in fretta.

Dico sembra perche' non e' cosi'; per quanto cio' risulti incredibile si puo' dimostrare che comunque assegnato il valore arbitrario di e0,

esiste un indice N tale che eN=0.

Pazzesco? No: pure se questo teorema e' sufficientemente profondo e tecnico da evitarmi il tentativo di una riduzione scolastica, lo trovo interessante perche' esempio di serendipita': l'enunciato non e' dimostrabile nella consueta aritmetica dei naturali (e quindi se un giorno mi venisse la balzana idea di postare su asphalto un esempio di asserto non dimostrabile in PA credo sceglierei questo), e necessita di strumenti pesanti di induzione sui numeri transfiniti.
Dice qui che alcuni studiosi ritengono che Beethoven fosse negro. (Lucy Van Pelt)

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bravo pacciani a volte sai mettere i puntini sulle is
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DVRITIAM CORDIS VESTRIS SAXA TRAERE MERVISTIS
L'orzata in frigo è imperdonabile. (Squallido Master)
Scegliamo di mangiare una polenta abbrustolita, e la chiediamo senza alcun abbinamento. (Il Maestro)
[Fred::post]l'asphalto tutto = quella merda di rodolfo, che raccoglie i consensi dello 0.03% di asphalto (ovvero la sua utenza e basta

Io sono solito stampare in formato A3 col plotter i post di rodolfo per poi arrotolarmeli attorno al corpo nudo e gettarmi nei letamai del circondario. (supermaz)

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no ma sottofondo a cosa?
no dico, che fatica però


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e comunque sia chiaro, sono stufo del fatto che trattate pacciani come un ragazzino da incoraggiare, da incitare a far bene comunque, anche dinnanzi a grossissimi e consecutivi FAIL. Chi sbaglia paga!
no dico, che fatica però


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[il culo di supermaz::post]
*PREEE-PEPEPEPEPEPEPEEEEREPE, ANDALE*
Fred tutta la vida loca
no dico, che fatica però


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[maskone::post]Fred tutta la vida loca
purtroppo no, ma mi sarebbe piaciuto

la morale, la storia, la geometria, la pace e la guerra non sono che fuffa - prikedelik

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el mariquito
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thread sontuoso senza tette

la cosa del compleanno però è obsissima
vincibile on asphaltovincibile on asphalto
[brullo nulla::post] VINCIBILE MUORI
[rodolfo::post] ma vai a cagare, tra l'altro ti ho pure votato new entry
[maskone::post] vincibile, quale amara sconfitta
[escape_from_La_Palma::post] oh è insopportabile porcodio

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[rodolfo::post]el mariquito

hahaha.
Lilith ha l'istinto fallato.

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eh?

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[Marco::post]
Lilith ha l'istinto per la fellatio.
EST CAZZUS IN REBIS
(Dulcamara)

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i massimi? i minimi? gli eventuali flessi te li sei scortati?

le derivateeeeeeeeeeeeeee

le forze variabili

siamo tutti dei vettori parà parà papppà

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eotvos ma a cosa serve cercare sti numeri giganteschi?
supermaz è l'uomo giusto per qualsiasi persona che abbia dei gusti raffinati ed un cuore grande. (muffa)
una donna può campare ancora oggi facendo ciò che faceva la sua antenata del tremila avanti cristo, cioè la puttana o la sguattera o entrambe, mentre l'uomo purtroppo non può più vivere di guerra e di caccia, nè farsi giustizia con arco e frecce (scotto)
rebis è la ragazza della porta 80 accanto(}-{aiku)

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maskone tutta la vita
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[Fred::post]l'asphalto tutto = quella merda di rodolfo, che raccoglie i consensi dello 0.03% di asphalto (ovvero la sua utenza e basta

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non ero nemmeno logato
no dico, che fatica però


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[supermaz::post]eotvos ma a cosa serve cercare sti numeri giganteschi?

Nel caso di Graham, gli e' servito a trovare un bound superiore al numero minimo di blabla che servono per ottenere un certo pattern. Nel caso di Goodstein c'e' semplicemente un rate di crescita immenso, che poi (a latitudini stratosferiche, ma comunque finite) raggiunge un picco, a partire dal quale cala definitivamente.
Dice qui che alcuni studiosi ritengono che Beethoven fosse negro. (Lucy Van Pelt)

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[Eötvös::post]
Nel caso di Graham, gli e' servito a trovare un bound superiore al numero minimo di blabla che servono per ottenere un certo pattern.
rispiegare potabile pliz
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ho appena capito la differenza fra matematici ed ingegneri (numeri grandi = inutili sfilze di simboli da dividere per 10 alla quanto ti serve)

la morale, la storia, la geometria, la pace e la guerra non sono che fuffa - prikedelik

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eotvos, questo è il momento del facepalm per te. questo problema lo sento citare da anni e anni, e non ne ho MAI capito il presupposto. ovvero:

[Eötvös::post]
Supponiamo che alla prossima tutufest ci si chieda qual e' il numero minimo di asphaltiti da invitare, per fare in modo che almeno tre di essi si conoscano tra loro, oppure che almeno tre di loro non si conoscano.
Se il rapporto di conoscenza e' simmetrico (A conosce B se e solo se B conosce A), qualche disegnino e' sufficiente a capire che ne bastano 6; chi non si fida dei disegni immagini di essere in una stanza con altre 5 persone: e' evidente che ci saranno almeno tre persone che conosce o almeno tre persone che non conosce.


CHE. CAZZO. SIGNIFICA.
se io voglio invitare 3 persone che non si conoscono, basta che ne invito 3 che non si conoscono.
idem per 3 persone che si conoscono tutte tra loro.
da dove cristo salta fuori 6? c'è un assunto non detto che manca?
SAD PROTEINA - AUTOMATIC CLOWN

[vincibile::post]Ah! Voi generazione corrotta dite "tortura" perché foste allevati nel lassismo, la crapula e la gozzoviglia, dite "regime" perché sol conosceste l'anarchia e d'ogni licenza vi fate vanto, dite "graphic novel" ma son comunque fumetti. Giorno verrà ove Colui che è stato chiamato per giudicare la vostra schiatta, viziosa e sibarita, ridarà all'umana favella del vero il giusto significante.

[cotard::post]le manate vanno bene solo quando hai ragione, per sottolineare la possenza delle proprie argomentazioni.
[muffa::post]quando guardo i porni spero sempre che alla fine si sposino

[fork()]

[brullo nulla::post]
se io voglio invitare 3 persone che non si conoscono, basta che ne invito 3 che non si conoscono.
ahah aahahah trollproblem solving!
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perchè tu non sai chi conosce chi e devi SOUPPORRE che ogni individuo può stare solo in uno dei due stati (conosce qualcuno, non conosce qualcuno).

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[supermaz::post] [brullo nulla::post]
se io voglio invitare 3 persone che non si conoscono, basta che ne invito 3 che non si conoscono.

ahah aahahah trollproblem solving!


ma no, giuro che non ho mai capito il concetto.
"quante persone devo invitare perchè ce ne possano essere 3 che non si conoscono o 3 che si conoscono?" la risposta è: 3 (tutti e 3 non si conoscono oppure tutti e 3 si conoscono)

giuro che mi è incomprensibile come si arrivi a 6.
SAD PROTEINA - AUTOMATIC CLOWN

[vincibile::post]Ah! Voi generazione corrotta dite "tortura" perché foste allevati nel lassismo, la crapula e la gozzoviglia, dite "regime" perché sol conosceste l'anarchia e d'ogni licenza vi fate vanto, dite "graphic novel" ma son comunque fumetti. Giorno verrà ove Colui che è stato chiamato per giudicare la vostra schiatta, viziosa e sibarita, ridarà all'umana favella del vero il giusto significante.

[cotard::post]le manate vanno bene solo quando hai ragione, per sottolineare la possenza delle proprie argomentazioni.
[muffa::post]quando guardo i porni spero sempre che alla fine si sposino

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scusate volevo chiedere, chi di voi matematici potrebbe risolvermi un problema di pesatura di solidi?
no dico, che fatica però


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comunque invitare troppe persone che non si conoscono è un rischio perchè magari si stanno sul cazzo e non hanno niente da dirsi, mentre invitarne alcuni che si conoscono e altri che non si conoscono si finisce a fare i gruppetti intorno al tavolo.
Per non parlare di chi ha intolleranze alimentari o è vegetariano.
ho troppa paura della solitudine per mettermi con una donna

[dulcamara::post]
PANCREAS AL POPOLO!!!!

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[brullo nulla::post]
"quante persone devo invitare perchè ce ne possano essere 3 che non si conoscono o 3 che si conoscono?"
aspe aspe, la premessa è invitare persone A CASO, quindi non essere sicuro di conoscerle

[brullo nulla::post]Se il rapporto di conoscenza e' simmetrico (A conosce B se e solo se B conosce A), qualche disegnino e' sufficiente a capire che ne bastano 6; chi non si fida dei disegni immagini di essere in una stanza con altre 5 persone: e' evidente che ci saranno almeno tre persone che conosce o almeno tre persone che non conosce.


in questo caso:
se conosci 2 persone, ce ne sono 3 che non conosci -> win
se conosci 1 persona, ce ne sono 4 che non conosci -> win
se conosci 5 persone -> win


se invece inviti 4 persone A CASO

se ne conosci 3 -> win
se ne conosci 1 -> ce ne sono 3 che non conosci -> win
se ne conosci 2 -> ce ne sono 2 che non conosci -> FAIL!!



cmq non ho ancora capito a cosa possa servire sta roba
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